Re: 無題 - 豆

2013/02/15 (Fri) 16:40:29

f(x)=logx-loga-2(x-a)/(x+a)とおくと、
f'(x)=1/x-2((x+a)-(x-a)/(x+a)^2
　=(x-a)^2/(x(x+a)^2)
x＞aのときf'(x)＞0　　　f(a)=0
従って、a＜bなるbについて、
f(b)＞0　変形して右半分の不等式を得る

g(x)=(x-a)/√(ax)-(logx-loga)とおくと、
g'(x)=(√x-√a)^2/(2x√(ax))
x＞aのときg'(x)＞0　　g(a)=0
従って、同様に左半分の不等式を得る。

さて、この不等式をグラフから『イメージ』としてとらえたい。
今、y=logxのグラフを考え、A'(a,0)、A(a,loga)、B'(b,0)、B(b,logb)をとる。
A’B’の中点C'((a+b)/2,0)からy軸と平行に直線を引くと、
直線ABとはCで、曲線ABとはC”で交わる。
Cからx軸と平行に直線を引くと、曲線ABとはD”でで交わる
Cのy座標は(loga+logb)/2=log√(ab)なのでD”のx座標は√(ab)
D”はCより左なので(a+b)/2＞√(ab)が確認できる（単なる相加相乗平均だが）。

曲線AB上の接線の傾きに関して考える。
傾きは(logx)'=1/xであるが、傾きの変化率は(1/x)'=-1/x^2なので、
xの増加と主に、傾きの変化は小さくなっている。
従って、AB間の平均の傾き(logb-loga)/(b-a)と同じ傾きを与える接点Eは
曲線の中間より手前、つまりC"よりA寄りにあることになる。
今度は逆にyを独立変数、xを従属変数でみた場合x=e^yなので、今度は
傾きの変化はyの増加とともに増加していくことになる。
従って、AB間の平均の傾きを与える接点E点は、曲線の中間点より後ろ、つまり
D"より、B寄りにあることになる。
合わせると、平均の傾き(logb-loga)/(b-a)と同じ傾きを与える接点Eは
D"とC”の間にあることになる。
Eのx座標は傾きの逆数なので、(b-a)/(logb-loga)なので、x座標の比較から
与えられた不等式がグラフからイメージできる。