新数学質問箱

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八面体と内接球 グットナイト

2015/06/18 (Thu) 20:06:28

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図のように、正八面体ABCDEFに半径1の球Oが内接 している この八面体の体積を求めよう

辺BCの中点をM、ABの長さをaとおくと、OA=√ア/イ a 、OM=ウ/エaであるから、

Sは、S=√オ/カaの2乗である また、線分AMを三角形AMOの底辺として考えると S=√キ/クaである よって、a=√ケであり、正八面体の体積はコ√サで ある。 ながいですが、お願いします

Re: 八面体と内接球 - to

2015/06/19 (Fri) 00:39:48

図を参照してください。
(図上でクリックするといくらか大きくなります)

正八面体なので、AB=BC=CA=aで
・・・△ABCは正三角形となります。

AMは正三角形の中線なので、
・・・AM=(√3/2)a

四角形DCDEは正方形なので、OMは辺の(1/2)で
・・・OM=(1/2)a

直角三角形AMOで三平方の定理を利用して
・・・OA=(√2/2)a

底辺OM=(1/2)a,高さOA=(√2/2)aから
・・・S=△AMO=(√2/4)a^2

底辺AM=(√3/2)a,高さOH=1【内接球の半径】から
・・・S=△AMO=(√3/4)a

どちらも△AMOの面積なので
・・・(√2/4)a^2=(√3/4)a

a≠0なので、aについて解いて
・・・a=√6

また、正八面体を正四角錐2つを合わせたものとして考え
・・・底面が一辺a=√6の正方形
・・・高さがAO=(√2/2)a=√3
体積は、
・・・{(√6^2)*(√3)*(1/3)}*2=4√3

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