新数学質問箱

25289

関数 くちぱっち

2015/01/25 (Sun) 17:53:20

解答と解説お願いします!

Re: Re: 関数 くちぱっち

2015/01/26 (Mon) 01:13:31

わかりやすい解説ありがとうございます。どうか、またお願いします!

Re: 関数 - to

2015/01/26 (Mon) 00:13:47

f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f'(x)=3x^2+2ax+b

(1)x=-2/3,x=1で、極値を持つので

  f'(-2/3)=3(-2/3)^2+2a(-2/3)+b=0
  f'(1)=3(1)^2+2a(1)+b=0

 これを、(a,b)についての連立方程式として解いて、
   a=-(1/2),b=-2

●与式は
 f(x)=x^3-(1/2)x^2-2x+c
 f'(x)=3x^2-x-2

(2)-(3/2)≦x≦(3/2)での与式の値の変化を考えると
 【増減表・グラフ等の利用】

  f(-3/2)=c-(3/2)・・・・・最小値
  f(-2/3)=c+(22/27)・・・最大値(極大値)
  f(1)=c-(3/2)・・・・・・・・・最小値(極小値)
  f(3/2)=c-3/4

 -(3/2)≦x≦(3/2)で、f(x)<(6/11)c^2 なので
  この区間の最大値が、(6/11)c^2未満

 c+(22/27)<(6/11)c^2 を、cについての2次不等式として解いて
   c<-11/18,c>22/9

●補足

(不等式の計算)
  c+(22/27)<(6/11)c^2 から
  162c^2-297c-242>0 
  (18c+11)(9c-22)>0
 
(グラフ)
 A…f(-3/2)=c-(3/2)
 B…f(-2/3)=c+(22/27)
 C…f(1)=c-(3/2)
 D…f(3/2)=c-3/4

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